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• Si illustrano alcuni problemi tipici sulle rette #Rette #scuola

• Rappresentare una retta sul piano cartesiano

  • Si mette la retta in forma esplicita

    • 2x+y=5

    • y=-2x+5

  • Si costruisce una tabella per assegnare un valore x e ottenere un valore y.
  • y=3x-1
  • x=0 \implies y=3·0-1=-1
  • Per determinare completamente il grafico di una retta occorrono almeno due punti.
  • x=1 \implies y=3·1-1=2
  • Ho trovato due punti A e B entrambi appartenenti alla retta.
  • A(0; -1) e B(1; 2)
  • A questo punto posso rappresentare la retta sul Piano cartesiano.

• Stabilire se un punto appartiene o meno ad una retta.

  • Data la retta di equazione y=\frac{1}{2}x+1 stabilisci se il punto di coordinate O(0; 0) appartiene alla retta.
  • Si sostituiscono le coordinate del punto nell'equazione della retta.
  • 0=\frac{1}{2}·0+1\neq1
  • Dalla disuguaglianza sopra deduco che il punto O non appartiene alla retta data.
  • Consideriamo ora il punto A(1; \frac{3}{2}) e stabiliamo se esso appartiene o meno alla retta.
  • \frac{3}{2}=\frac{1}{2}·1+1=\frac{3}{2}
  • Dall'uguaglianza sopra deduco che il punto A appartiene alla retta.

• Determinare una retta passante per due punti assegnati.

  • Dati i punti A(1; 1) e B(2;0) determinare l'equazione della retta che passa per i due punti.
  • Occorre sfruttare la relazione

  • \frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}

  • Sostituendo le coordinate di A e B all'interno della relazione sopra si ottiene:

  • \frac{y-1}{0-1}=\frac{x-1}{2-1} \implies -(y-1)=x-1

  • -y+1=x-1

  • -y=x-1-1

  • -y=x-2

  • y=-x+2

  • L'equazione sopra rappresenta la retta (l'unica) passante per i punti A e B assegnati.

• Intersezione tra rette

  • Date due rette di equazioni

  • y=x+5

  • y=2x+1

  • Determina le eventuali intersezioni tra queste rette.
  • Per risolvere il problema occorre risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite.

  • \begin{cases}y=x+5~~~~(1)\\y=2x+1~~(2)\end{cases}

  • In questo caso risulta comodo utilizzare il metodo del confronto.

  • x+5=2x+1

  • x-2x=1-5

  • -x=-4 \implies x=4

  • Il punto di intersezione P cercato avrà come ascissa 4.
  • Per determinare l'ordinata del punto P basterà sostituire x=4 in una delle due equazioni.
  • Sostituendo nella (1) otteniamo:

  • y=4+5=9

  • Le coordinate del punto di intersezione saranno quindi P(4; 9).

• Determinare l'equazione di una retta a partire da alcuni elementi noti.

  • Determinare l'equazione di una retta parallela alla retta di equazione y=-3x+1 e passante per il punto A(1; 1).
  • Scrivo l'equazione generica di una retta

    • y=mx+q

    • Dalla traccia del problema so che m=-3 in quanto due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
    • Quindi posso riscrivere l'equazione sopra in questo modo:

    • y=-3x+q

    • Rimane da determinare q. Per completare l'esercizio devo sfruttare l'altra condizione: il passaggio dal punto A(1; 1).
    • Per fare questo sostituisco le coordinate del punto A(1; 1) nell'equazione sopra.

    • 1=-3·1+q \implies 1=-3+q \implies q=1+3=4

    • Ho quindi determinato l'equazione della retta richiesta:

    • y=-3x+4

  • Determinare l'equazione della retta passante per l'origine che ha come coefficiente angolare m=-\frac{3}{8}
    • L'equazione generica di una retta passante per l'origine è y=mx.
    • Sostituisco al posto del coefficiente angolare -\frac{3}{8}
    • Ottenendo y=-\frac{3}{8}x
  • Determinare l'equazione della retta passante per l'origine che ha lo stesso coefficiente angolare della retta passante per l'origine e per P(-\frac{1}{3}; \frac{4}{3})
    • Scrivo l'equazione generica di una retta che passa per l'orgine: y=mx.
    • Sostituisco le coordinate di P nell'equazione

    • \frac{4}{3}=m·(-\frac{1}{3}) \implies -4 = m

    • La retta cercata ha equazione y=-4x
  • Determinare l'equazione della retta passante per l'origine e passante per A(-4; \frac{2}{3})
    • Scrivo l'equazione generica di una retta che passa per l'orgine: y=mx.
    • Sostituisco le coordinate di A nell'equazione

    • \frac{2}{3}=m·(-4) \implies -2=12m \implies -\frac{1}{6}=m

    • La retta cercata ha equazione y=-\frac{1}{6}x
  • Determinare l'equazione della retta passante per l'origine e che forma un angolo di 135° con l'asse x
    • La retta cercata ha come coefficiente angolare -1 infatti si tratta della bisettrice del II e IV quadrante. La sua equazione è y=-x.